बारा चेंडूंचे कोडे

प्रश्न-१: सारख्याच वजनाचे, आकार, प्रकार इत्यादी सर्वच बाबतीत एकदम सारखे असे आठ चेंडू आहेत. त्यांपैकी फक्त एक वजनात थोडा हलका किंवा जड आहे. तो शोधून काढायचा आहे आणि हेही शोधून काढायचे आहे की तो इतरांपेक्षा हलका आहे की जड. मात्र याकरता एक तराजू उपलब्ध आहे जो फक्त तीनदाच वापरायचा आहे. हा चेंडू व तराजू यांव्यतिरिक्त इतर कुठल्याही वस्तूंचा आधार घ्यायचा नाही आहे. तर हे कसे करता येईल?

उत्तर: तराजू तीनदा वापरायचा आहे म्हणजे तीनदा तोलता येणार. पहिल्यांदा आठपैकी कुठलेही तीन चेंडू एका पारड्यात ठेवा आणि कुठलेही इतर तीन चेंडू दुसऱ्या पारड्यात ठेवा. उर्वरित दोन चेंडू खालीच असू देत.

ह्यावेळी समजा तराजूचा काटा मध्यावरच राहिला तर खाली ठेवलेल्या दोन चेंडूंपैकी कुठला तरी एक हलका किंवा जड आहे. असे असेल तर दुसऱ्या तोलण्यात तेच दोन चेंडू प्रत्येक पारड्यात एक एक असे ठेवा आणि तोला. एक पारडे खाली जाईल तर दुसरे वर. मग वर गेलेल्या पारड्यातील चेंडू काढून घेऊन त्या जागी एक प्रमाण चेंडू ठेवा. मग तोला. हे तोलणे तिसरे तोलणे असेल. पारडे वर गेल्यास पहिल्या पारड्यातील चेंडू इतरांपेक्षा जड असणार. पारडे खाली जाणारच नाही. कारण फक्त एकच चेंडू वेगळा आहे. मात्र आता पारडे बरोबरीत राहीले तर दुसऱ्या तोलण्यात वर गेलेल्या पारड्यातील चेंडू वेगळा ठरेल. हलका ठरेल.

ह्यावेळी जर एक पारडे खाली व एक पारडे वर गेले तर दोन निष्कर्ष निघतात. उरलेले दोन्ही चेंडू प्रमाण चेंडू आहेत आणि प्रथम तोललेल्या सहा चेंडूंमध्येच वेगळा चेंडू आहे. आता वर गेलेल्या पारड्यातील तीन्ही चेंडूंवर 'ह' असे तर खाली गेलेल्या पारड्यातील तीन्ही चेंडूंवर 'ज' असे (केवळ खुणेसाठी म्हणून) लिहून घ्या. अजून दोनदा तोलणे शक्य आहे.

आता दुसऱ्यांदा तोलतांना एका बाजूला दोन 'ज' लिहीलेले आणि एक 'ह' लिहीलेला चेंडू ठेवा तर दुसऱ्या बाजूला दोन प्रमाणित चेंडू व एक 'ज' लिहीलेला चेंडू ठेवा. तोला. तराजूचा काटा जर मध्यावर राहीला तर तराजूत नसलेल्या 'ह' लिहीलेल्या दोन चेंडूंपैकी एक हलका असायला हवा. त्या दोघांना तिसऱ्या तोलण्यात वेगवेगळ्या पारड्यांत ठेवून जे पारडे वर जाईल त्यातला चेंडू हलका ठरवा.

दुसऱ्यांदा तोलतांना जर दोन 'ज' लिहीलेले चेंडू असलेले पारडे खाली गेले तर त्या दोन 'ज' लिहीलेल्या चेंडूंपैकी एक जड असेल. त्यांना वेगवेगळ्या पारड्यांमध्ये घालून तिसऱ्या तोलण्यात त्यांच्यापैकी जो खाली जाईल तो चेंडू जड ठरवावा. मात्र दुसऱ्यांदा तोलतांना जर दुसरे पारडे खाली गेले तर दोन शक्यता उद्भवतात खाली गेलेल्या पारड्यातील 'ज' लिहीलेला चेंडू जड असेल किंवा पहिल्या पारड्यातील 'ह' लिहीलेला चेंडू हलका असेल. तिसऱ्या तोलण्यात पहिल्या पारड्यातील 'ह' लिहीलेला चेंडू एका पारड्यात ठेवा आणि दुसऱ्या पारड्यात एक प्रमाणित चेंडू ठेवा. प्रमाणित चेंडू असलेले पारडे वर जाणारच नाही. कारण फक्त एकच चेंडू वेगळा आहे. प्रमाणित चेंडू असलेले पारडे खाली गेल्यास तिसऱ्यांदा तोलतांना पहिल्या पारड्यात ठेवलेला 'ह' लिहीलेला चेंडू हलका असल्याचे सिद्ध होईल. मात्र यावेळी जर तराजूचा काटा मध्यावरच राहीला तर दुसऱ्यांदा तोलतांना खाली गेलेल्या पारड्यातील 'ज' लिहीलेला चेंडू जड असेल.

म्हणजे मी प्रश्नही सांगितला आणि उत्तरही दिले. मग मजा ती काय राहिली? राहिली आहे तर! आता खालचा प्रश्न सोडवा.

प्रश्न-२: सारख्याच वजनाचे, आकार, प्रकार इत्यादी सर्वच बाबतीत एकदम सारखे असे बारा चेंडू आहेत. त्यांपैकी फक्त एक वजनात थोडा हलका किंवा जड आहे. तो शोधून काढायचा आहे. मात्र याकरता एक साधा तराजू उपलब्ध आहे जो फक्त तीनदाच वापरायचा आहे. आणि या चेंडू व तराजूव्यतिरिक्त इतर कुठल्याही वस्तूंचा आधार घ्यायचा नाही आहे. तर हे कसे करता येईल?